%!TEX program = xelatex
%!TEX TS-program = xelatex
%!TEX encoding = UTF-8 Unicode

\documentclass[12pt,t,aspectratio=169,mathserif]{beamer}
%Other possible values are: 1610, 149, 54, 43 and 32. By default, it is to 128mm by 96mm(4:3).
%run XeLaTeX to compile.

\input{wang-slides-preamble.tex}

\begin{document}

\title{高等代数一}
\subtitle{23-集合与映射-向量空间的同构}
%\institute{上海立信会计金融学院}
\author{{\ppr LQW}}
%\renewcommand{\today}{{\ppr \number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日} }
\date{{\ppr 2022年12月13日} }

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{内容提要 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item  集合与映射
\item  单射、满射、双射
\item  映射的像与原像
\item  向量空间的同构

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{23.1. 集合与映射 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item   {\color{red}集合是有明确定义的一些对象组成的一个整体。这些对象称为元素。}

\item  {\color{red}定义：从非空集合 $A$ 到非空集合 $B$ 的一个映射 $f:A\to B$, 是指一个对应法则，对每个元素 $a\in A$, 根据这个法则，都存在唯一的元素 $b\in B$ 与之对应。记为 $b=f(a)$. } 

\item  例子1：从集合 $A=\{1,2,3\}$ 到集合 $B=\{1,2,3,4\}$ 的映射有多少个？
\item  解答：对每个 $a\in A$, 都需要指定 $f(a)\in B$, 有4种可能。所以一共有 
$$4\times 4\times 4 = 64$$
个不同的映射。

\item   {\color{red}定义：集合 $A$ 与 $B$ 的笛卡尔乘积集合 $A\times B$ 是由所有形如 $(a,b)$ 的有序元素对组成的整体，其中 $a\in A$, $b\in B$, 即 
\begin{eqnarray*}
A\times B = \{ (a,b) \mid a\in A, b\in B\}. 
\end{eqnarray*}
}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{23.2. 单射、满射、双射、一一对应 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}定义：设有映射 $f:A\to B$. }
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}若对任意 $a_1, a_2\in A$, 由 $a_1\neq a_2$ 可得 $f(a_1)\neq f(a_2)$, 则称 $f$ 是单射。}
\item  {\color{red}若对任意 $b\in B$, 都存在 $a\in A$, 使得 $b=f(a)$, 则称 $f$ 是满射。}
\item  {\color{red}若 $f$ 既是单射又是满射，则称 $f$ 是双射。本书也称一一对应。}
\end{enumerate}

\item  例子2：设 $A=\{x\mid x\in\mathbb{R},x\ge 0\}$, $B=\{y\mid y\in \mathbb{R}, 0\le y<1\}$. 则下述映射是一个双射：
\begin{eqnarray*}
f: A &\to& B \\ 
a  &\mapsto&  f(a) =\frac{a}{a+1}. 
\end{eqnarray*}

\item  {\color{red}定义：设有双射 $f:A\to B$. 则可定义逆映射 $f^{-1}:B\to A$, 对任意 $b\in B$, 定义 $f^{-1}(b)$ 为使得 $b=f(a)$ 成立的唯一的 $a\in A$. }

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{23.3. 像与原像 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}定义：设有映射 $f:A\to B$. }
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}映射 $f$ 的像是指集合 $B$ 的子集 $f(A):=\{f(a)\mid a\in A\}$. }
\item  {\color{red}子集 $A_1\subseteq A$ 的像是指集合 $B$ 的子集 $f(A_1):=\{f(a)\mid a\in A_1\}$.}
\item  {\color{red}子集 $B_1\subseteq B$ 的原像是指集合 $A$ 的子集 $f^{-1}(B_1):=\{a\in A \mid f(a)\in B_1\}$.}
\end{enumerate}

\item  例子3：设 $\mathbb{Z}$ 是整数全体组成的集合。设 $f:\mathbb{Z}\times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ 是加法运算。求原像 $f^{-1}(0)$.  

\item  解答：按照原像的定义，有 
\begin{eqnarray*}
f^{-1}(0) &=& \{ (x,y)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z} \mid f(x,y)=0 \} \\ 
&=& \{ (x,-x) \mid x\in \mathbb{Z} \}. 
\end{eqnarray*}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{23.4. 向量空间的同构}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}定义：设 $V$ 和 $W$ 是数域 $F$ 上的两个向量空间。一个映射 $\sigma:V\to W$ 称为是向量空间的同构，如果下述条件成立：}
\begin{enumerate}
\item {\color{red}这个映射是一个一一对应。}
\item {\color{red}这个映射保持线性运算，即对任意 $\alpha_1,\alpha_2\in V$, 对任意 $k_1,k_1\in F$, 都有 }
$$ {\color{red}\sigma(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2) = k_1\sigma(\alpha_1)+k_2\sigma(\alpha_2).  }$$

\end{enumerate}

%\item 定义：从集合 $V$ 到集合 $W$ 的一个映照 $\sigma$ 称为是一个一一对应，如果它是一个双射，即既是单射又是满射，
%\begin{enumerate}
%\item 单射：若 $\sigma(v_1)=\sigma(v_2)$ 则 $v_1=v_2$.
%\item 满射：对任意 $w\in W$, 都存在 $v\in V$ 使得 $w=\sigma(v)$. 
%\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{23.5. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  例子4：设 $V=\mathbb{R}[x]_3$ 是次数小于等于3的实系数多项式全体组成的集合，在多项式的加法与数乘运算下成为实向量空间。设 $W=\mathbb{R}^4$. 定义  
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
V &\overset{\sigma}{\to}& W \\
a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 &\mapsto & (a_0,a_1,a_2,a_3). 
\end{eqnarray*}
}
则 $\sigma$ 是这两个向量空间之间的一个同构。

\item 证明：验证同构的定义中的两个条件：
\begin{enumerate}
\item  $\sigma$ 是一一对应：
\begin{enumerate}
\item  若 $f(x)\neq g(x)$ 则 $\sigma(f(x))\neq \sigma(g(x))$. 
\item  对任意 $w\in W$, 存在 $f(x)\in V$ 使得 $\sigma(f(x))=w$. 
\end{enumerate}
\item  $\sigma$ 保持线性运算：
\begin{enumerate}
\item  $\sigma$ 保持加法运算：$\sigma(f(x)+g(x))=\sigma(f(x))+\sigma(g(x))$. 
\item  $\sigma$ 保持数乘运算：$\sigma(kf(x))=k\sigma(f(x))$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{23.6. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  例子5：设 $V=M(2\times 3, \mathbb{R})$ 是 $2\times 3$ 阶的实数矩阵全体组成的集合，在矩阵的加法与数乘运算下成为实向量空间。设 $W=\mathbb{R}^6$. 定义  
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
V &\overset{\sigma}{\to}& W \\
\begin{pmatrix} a_1&a_2&a_3 \\ b_1&b_2&b_3 \end{pmatrix}
 &\mapsto & (a_1,a_2,a_3, b_1,b_2,b_3). 
\end{eqnarray*}
}
则 $\sigma$ 是这两个向量空间之间的一个同构。

\item 证明：验证同构的定义中的两个条件：
\begin{enumerate}
\item  $\sigma$ 是一一对应：
%\begin{enumerate}
%\item  若 $A\neq B$ 则 $\sigma(A)\neq \sigma(B)$. 
%\item  对任意 $w\in W$, 存在 $A\in V$ 使得 $\sigma(A)=w$. 
%\end{enumerate}
\item  $\sigma$ 保持线性运算：
%\begin{enumerate}
%\item  $\sigma$ 保持加法运算：$\sigma(A+B)=\sigma(A)+\sigma(B)$. 
%\item  $\sigma$ 保持数乘运算：$\sigma(kA)=k\sigma(A)$. 
%\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{23.7. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
%\item 对列向量左乘一个可逆矩阵是一个同构。
\item  例子6：设 $V=\mathbb{R}^2$,  设矩阵 {\footnotesize $A=\begin{pmatrix}1&0 \\ 2&1\end{pmatrix}$}. 考虑下述映射
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\sigma: V &\to& V \\
v &\mapsto & \sigma(v)=Av.
\end{eqnarray*}
}
具体来写就是
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} 
\overset{\sigma}{\mapsto} 
\begin{pmatrix}1&0 \\ 2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}x_1 \\ 2x_1 + x_2 \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
}
则这是实数列向量空间 $\mathbb{R}^2$ 到自身的一个同构。  
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{23.8. 例子6的解答 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item 这个映射是一一对应：

\begin{enumerate}
\item 单射：若 $Av_1=A v_2$, 则因为 $A$ 可逆，所以 $v_1=v_2$.
\item 满射：对任意 $w\in W$, 令 $v=A^{-1}w$ 则有 $w=Av$. 
\end{enumerate}

\item 这个映射保持线性运算：因为这里的 $Av$ 就是矩阵的乘法运算，所以对任意列向量 $v_1,v_2$, 对任意实数 $k_1,k_2$, 都有
\begin{eqnarray*}
A(k_1v_1+k_2v_2) = k_1Av_1 + k_2Av_2,
\end{eqnarray*}
也即 $\sigma(k_1v_1+k_2v_2) = k_1\sigma(v_1)+k_2\sigma(v_2)$. 
所以 $\sigma$ 保持线性运算。

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{23.9. 定理 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}定理：设 $V$ 是实数域上的向量空间，设 $\dim_\mathbb{R}V=n$. 则 $V$ 与 $\mathbb{R}^n$ 同构。}

\item  证明思路：构造这个同构，

{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
V &\to & \mathbb{R}^n \\ 
%\alpha= (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)\cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} 
\alpha= x_1\alpha_1+x_2 \alpha_2+ \cdots+ x_n\alpha_n 
&\mapsto&  
%\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}.  
(x_1,x_2,\cdots,x_n)^t. 
\end{eqnarray*}
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{23.10. 定理的证明}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  取 $V$ 的一个基 $\Phi=(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)$. 

\item  构造一个映射 $\sigma: V \to \mathbb{R}^n$ 如下。对任意 $\alpha\in V$, 设 $\alpha$ 关于基 $\Phi$ 的坐标是 $x=(x_1,x_2,\cdots, x_n)^t$. 则定义 $\sigma(v)=x$. 
也就是说，将任意一个向量对应为它在这个基下的坐标。
因为固定一个基以后，每个向量的坐标是唯一确定的，所以这个映射是定义好的。

\item 证明这个映射是一个同构。

\begin{enumerate}

\item 这个映射是一一对应。
%单射：若两个向量在这个基下的坐标相等，则这两个向量本来就相等。\\ 
%满射：任意一个 $n$ 维实数列向量，都是 $V$ 中某个向量 $\alpha$ 的坐标。

\item 这个映射保持线性运算：验证 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\sigma(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2) = k_1\sigma(\alpha_1)+k_2\sigma(\alpha_2). 
\end{eqnarray*}
}

\end{enumerate}

%\item[*] 注：{\color{red} $n$ 维向量}是指$n$ 维列向量 $\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ 或$n$ 维行向量 $(x_1,\cdots,x_n)$. \\
%  {\color{red} $n$ 维向量空间}是指一个抽象的向量空间 $V$, 存在一个基恰好包含 $n$ 个向量。其中的元素 $\alpha\in V$ 只能称为{\color{red}向量}。

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{23.11. 定理 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}定理：设 $f:V\to W$ 是向量空间的同构，则有下述结论。} 
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}$f$ 将 $V$ 中的零向量对应到 $W$ 中的零向量。}
\item  {\color{red}对任意 $\alpha\in V$, 有 $f(-\alpha) = -f(\alpha)$. }
\item  {\color{red}向量组 $\Phi=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$ 线性相关当且仅当向量组 $f(\Phi)$ 线性相关。} 
\item  {\color{red}逆映射 $f^{-1}:W\to V$ 也是同构。}
\end{enumerate}

\item 证明：
\begin{enumerate}
\item  由 $f(\theta_V)=f(\theta_V+\theta_V)=f(\theta_V)+f(\theta_V)$ 可得。
\item  由 $f(-\alpha) + f(\alpha) = f(-\alpha+\alpha) =f(\theta_V)=\theta_W$ 可得。 
\item  由 $f$ 保持线性运算可得。
\item  验证同构的定义条件。

\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{23.12.  }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  例子7：证明复数域 $\mathbb{C}$ 作为实数域 $\mathbb{R}$ 上的向量空间，与 $V=\mathbb{R}^2$ 同构。

\item  证明：
\begin{enumerate}
\item  任意复数可以写成 $a+bi$ 的形式，其中 $a,b$ 是两个实数。
\item  定义映射
\begin{eqnarray*}
\mathbb{C} &\overset{f}{\to}& \mathbb{R}^2 \\ 
z=a+bi  &\mapsto&  f(z) = (a,b)
\end{eqnarray*}
\item  验证 $f$ 是实数域上的向量空间之间的同构。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{23.13. 课堂练习 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  设 $f:V\to W$ 是向量空间之间的同构。
\begin{enumerate}
\item  设 $V_1$ 是 $V$ 的子空间。证明 $f(V_1)$ 是 $W$ 的子空间。
\item  设 $W_1$ 是 $W$ 的子空间。证明 $f^{-1}(W_1)$ 是 $V$ 的子空间。
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{23.14. 课堂练习答案 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  解答思路：理解映射的像与原像的概念。验证子空间的定义条件。


\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

